Exercices et corrigés

Exercices Physique Chimie

Equation de la trajectoire de la fusée

Équation de la Trajectoire d’une Fusée

Équation de la Trajectoire d’une Fusée

Comprendre le Mouvement Balistique d'une Fusée

Après l'extinction de ses moteurs, une fusée (ou tout projectile) lancée dans l'atmosphère terrestre suit une trajectoire qui est principalement déterminée par sa vitesse initiale et la force de pesanteur. Si l'on néglige la résistance de l'air et la courbure de la Terre, et que l'on considère le champ de pesanteur comme uniforme, le mouvement de la fusée est un mouvement de projectile classique. La deuxième loi de Newton permet d'établir les équations du mouvement, et à partir de celles-ci, l'équation de la trajectoire \(y(x)\).

L'étude de cette trajectoire est essentielle pour prédire la portée, l'altitude maximale et le temps de vol, des paramètres cruciaux en balistique et en astronautique.

Données de l'étude

Une petite fusée expérimentale est lancée. Ses moteurs s'éteignent à un certain point, et elle poursuit ensuite une trajectoire balistique.

Conditions à l'instant \(t=0\) (extinction des moteurs) :

  • Position initiale : L'origine du repère (O) est choisie au point d'extinction des moteurs, donc \(x_0 = 0 \, \text{m}\) et \(y_0 = 0 \, \text{m}\). (Note : si la fusée était lancée du sol et que les moteurs s'éteignaient en altitude, \(y_0\) serait différent de zéro par rapport au sol).
  • Vitesse initiale (\(v_0\)) : \(250 \, \text{m/s}\)
  • Angle de la vitesse initiale avec l'horizontale (\(\alpha\)) : \(53,0^\circ\)
  • Intensité de la pesanteur (\(g\)) : \(9,81 \, \text{m/s}^2\)
  • On néglige la résistance de l'air et la rotation de la Terre.
Schéma : Trajectoire Balistique d'une Fusée
y (m) x (m) O v₀ α H_max Portée R

Schéma de la trajectoire balistique d'une fusée après extinction des moteurs, lancée avec une vitesse \(v_0\) et un angle \(\alpha\).

Questions à traiter

  1. Faire le bilan des forces s'exerçant sur la fusée pendant sa phase de vol balistique.
  2. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les composantes \(a_x(t)\) et \(a_y(t)\) du vecteur accélération \(\vec{a}\) de la fusée.
  3. Déterminer les composantes \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\) du vecteur vitesse \(\vec{v}\) de la fusée en fonction du temps \(t\), de \(v_0\) et \(\alpha\).
  4. Déterminer les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) de la position de la fusée.
  5. Établir l'équation de la trajectoire \(y(x)\) de la fusée. Quelle est la nature de cette trajectoire ?
  6. Calculer l'instant \(t_S\) où la fusée atteint son altitude maximale (sommet de la trajectoire).
  7. Calculer cette altitude maximale \(H_{\text{max}} = y(t_S)\) atteinte par la fusée.
  8. Calculer le temps de vol total \(t_F\) jusqu'à ce que la fusée retombe au sol (\(y(t_F)=0\)).
  9. Calculer la portée horizontale \(R = x(t_F)\) de la fusée.

Correction : Équation de la Trajectoire d’une Fusée

Question 1 : Bilan des forces

Principe :

Pendant la phase balistique (moteurs éteints) et en négligeant la résistance de l'air, la seule force extérieure agissant sur la fusée est son poids.

Force :
  • Le poids (\(\vec{P}\)) :
    • Point d'application : Centre de gravité de la fusée.
    • Direction : Verticale.
    • Sens : Vers le bas.
    • Valeur : \(P = mg\).
Résultat Question 1 : La seule force s'exerçant sur la fusée est son poids \(\vec{P}\).

Question 2 : Composantes du vecteur accélération \(\vec{a}\)

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton : \(\Sigma \vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}\).

Application :

\(\vec{P} = m\vec{a}\). Comme \(\vec{P} = m\vec{g}\), on a \(m\vec{g} = m\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \vec{g}\).

Le vecteur accélération de la pesanteur \(\vec{g}\) est vertical et dirigé vers le bas. Dans le repère (Ox horizontal, Oy vertical vers le haut), ses composantes sont :

\[ \vec{g} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix} \]

Donc, les composantes du vecteur accélération \(\vec{a}\) sont :

\[ a_x(t) = 0 \] \[ a_y(t) = -g \]
Résultat Question 2 : \(a_x(t) = 0 \, \text{m/s}^2\) et \(a_y(t) = -g = -9,81 \, \text{m/s}^2\).

Question 3 : Composantes du vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\)

Principe :

On obtient les composantes de la vitesse par intégration des composantes de l'accélération par rapport au temps, en utilisant les conditions initiales de vitesse \(v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)\) et \(v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)\) à \(t=0\).

Calculs :

\(v_x(t) = \int a_x(t) dt = \int 0 \, dt = C_1\). À \(t=0\), \(v_x(0) = v_{0x}\), donc \(C_1 = v_{0x}\).

\[ v_x(t) = v_0 \cos(\alpha) \]

\(v_y(t) = \int a_y(t) dt = \int -g \, dt = -gt + C_2\). À \(t=0\), \(v_y(0) = v_{0y}\), donc \(C_2 = v_{0y}\).

\[ v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt \]
Valeurs numériques :
  • \(v_0 = 250 \, \text{m/s}\)
  • \(\alpha = 53,0^\circ\) (\(\cos(53^\circ) \approx 0,6018\), \(\sin(53^\circ) \approx 0,7986\))
  • \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
\[ \begin{aligned} v_{0x} &= 250 \times \cos(53^\circ) \approx 250 \times 0,6018 \approx 150,45 \, \text{m/s} \\ v_{0y} &= 250 \times \sin(53^\circ) \approx 250 \times 0,7986 \approx 199,65 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ v_x(t) \approx 150,5 \, \text{m/s} \] \[ v_y(t) \approx 199,7 \, \text{m/s} - (9,81 \, \text{m/s}^2) \times t \]

(Arrondis à une décimale pour la présentation).

Résultat Question 3 : \(v_x(t) = v_0 \cos(\alpha) \approx 150,5 \, \text{m/s}\) et \(v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt \approx 199,7 - 9,81 t\).

Question 4 : Équations horaires de la position \(x(t)\) et \(y(t)\)

Principe :

On obtient les composantes de la position par intégration des composantes de la vitesse, en utilisant les conditions initiales de position \(x(0)=x_0=0\) et \(y(0)=y_0=0\).

Calculs :

\(x(t) = \int v_x(t) dt = \int (v_0 \cos(\alpha)) dt = (v_0 \cos(\alpha))t + C_3\). À \(t=0\), \(x(0)=0\), donc \(C_3=0\).

\[ x(t) = (v_0 \cos(\alpha))t \]

\(y(t) = \int v_y(t) dt = \int (v_0 \sin(\alpha) - gt) dt = (v_0 \sin(\alpha))t - \frac{1}{2}gt^2 + C_4\). À \(t=0\), \(y(0)=0\), donc \(C_4=0\).

\[ y(t) = (v_0 \sin(\alpha))t - \frac{1}{2}gt^2 \]
Valeurs numériques :
\[ x(t) \approx 150,5 t \] \[ y(t) \approx 199,7 t - 4,905 t^2 \]
Résultat Question 4 : \(x(t) = (v_0 \cos \alpha)t \approx 150,5 t\) et \(y(t) = (v_0 \sin \alpha)t - \frac{1}{2}gt^2 \approx 199,7 t - 4,905 t^2\).

Question 5 : Équation de la trajectoire \(y(x)\)

Principe :

On élimine le temps \(t\) entre les deux équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\).

Dérivation :

De \(x(t) = (v_0 \cos \alpha)t\), on tire \(t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}\).

On substitue cette expression de \(t\) dans \(y(t)\) :

\[ \begin{aligned} y(x) &= (v_0 \sin \alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right)^2 \\ &= x \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 \\ &= (\tan \alpha) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x^2 \end{aligned} \]

C'est une équation de la forme \(y = Ax - Bx^2\), qui est l'équation d'une parabole.

Nature de la trajectoire : La trajectoire est une **parabole** (segment de parabole).

Résultat Question 5 : L'équation de la trajectoire est \(y(x) = (\tan \alpha) x - \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \right) x^2\). C'est une parabole.

Question 6 : Instant \(t_S\) du sommet

Principe :

Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse \(v_y(t_S)\) est nulle.

Calcul :

On pose \(v_y(t_S) = v_0 \sin \alpha - g t_S = 0\).

\[ t_S = \frac{v_0 \sin \alpha}{g} \]
\[ \begin{aligned} t_S &= \frac{250 \, \text{m/s} \times \sin(53,0^\circ)}{9,81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx \frac{250 \times 0,7986}{9,81} \, \text{s} \\ &\approx \frac{199,65}{9,81} \, \text{s} \\ &\approx 20,35 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'instant où la fusée atteint son altitude maximale est \(t_S \approx 20,4 \, \text{s}\).

Question 7 : Altitude maximale \(H_{\text{max}}\)

Principe :

On calcule \(y(t_S)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[H_{\text{max}} = y(t_S) = (v_0 \sin \alpha)t_S - \frac{1}{2}g t_S^2\]

Ou, en substituant \(t_S = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}\) :

\[H_{\text{max}} = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}\]
Calcul (avec \(v_{0y} \approx 199,65 \, \text{m/s}\) et \(t_S \approx 20,3517 \, \text{s}\)) :
\[ \begin{aligned} H_{\text{max}} &\approx (199,65 \times 20,3517) - \frac{1}{2} \times 9,81 \times (20,3517)^2 \\ &\approx 4063,3 - 4,905 \times 414,19 \\ &\approx 4063,3 - 2031,6 \\ &\approx 2031,7 \, \text{m} \end{aligned} \]

Avec la formule simplifiée :

\[ H_{\text{max}} = \frac{(199,65)^2}{2 \times 9,81} = \frac{39860,12}{19,62} \approx 2031,6 \, \text{m} \]
Résultat Question 7 : L'altitude maximale atteinte est \(H_{\text{max}} \approx 2032 \, \text{m}\) (ou 2,03 km).

Question 8 : Temps de vol total (\(t_F\))

Principe :

Le temps de vol total \(t_F\) est le temps pour lequel \(y(t_F) = 0\), avec \(t_F > 0\).

Équation à résoudre :
\[ (v_0 \sin \alpha)t_F - \frac{1}{2}g t_F^2 = 0 \]
\[ t_F \left( v_0 \sin \alpha - \frac{1}{2}g t_F \right) = 0 \]

Solutions : \(t_F = 0\) (départ) ou \(v_0 \sin \alpha - \frac{1}{2}g t_F = 0\).

\[ t_F = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} \]

On remarque que \(t_F = 2 t_S\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} t_F &= 2 \times t_S \\ &\approx 2 \times 20,3517 \, \text{s} \\ &\approx 40,70 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le temps de vol total est \(t_F \approx 40,7 \, \text{s}\).

Question 9 : Portée horizontale (\(R\))

Principe :

La portée \(R\) est la distance horizontale \(x(t_F)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R = x(t_F) = (v_0 \cos \alpha) t_F\]
Données :
  • \(v_{0x} \approx 150,45 \, \text{m/s}\)
  • \(t_F \approx 40,7034 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &\approx 150,45 \, \text{m/s} \times 40,7034 \, \text{s} \\ &\approx 6123,6 \, \text{m} \end{aligned} \]

(Arrondi à \(6120 \, \text{m}\) ou \(6,12 \, \text{km}\) avec 3 chiffres significatifs).

Résultat Question 9 : La portée horizontale de la fusée est \(R \approx 6120 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

10. L'équation de la trajectoire d'un projectile lancé depuis l'origine (sans frottement) est de la forme \(y = Ax - Bx^2\). Cela correspond à une :

11. La composante horizontale de la vitesse d'un projectile (sans frottement) :

12. Pour obtenir la portée maximale d'un projectile lancé depuis le sol (sans frottement), l'angle de lancement optimal est :

Glossaire

Projectile
Objet lancé dans un champ de forces (typiquement la pesanteur) et dont le mouvement est étudié.
Trajectoire
Courbe décrite par le centre d'inertie d'un mobile au cours de son mouvement.
Phase Balistique
Phase du mouvement d'un projectile où il n'est soumis qu'à la force de pesanteur (et éventuellement aux frottements de l'air, négligés ici).
Vecteur Vitesse (\(\vec{v}\))
Vecteur dont la direction et le sens indiquent la direction et le sens du mouvement, et dont la norme est la valeur de la vitesse.
Vecteur Accélération (\(\vec{a}\))
Vecteur représentant la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Dans un champ de pesanteur uniforme et sans frottements, \(\vec{a} = \vec{g}\).
Équations Horaires
Équations donnant les coordonnées de position (\(x(t), y(t)\)) et/ou de vitesse (\(v_x(t), v_y(t)\)) en fonction du temps \(t\).
Équation de la Trajectoire
Relation mathématique \(y(x)\) qui lie la coordonnée verticale \(y\) à la coordonnée horizontale \(x\) du projectile, indépendamment du temps.
Portée (\(R\))
Distance horizontale maximale parcourue par un projectile entre son point de lancement et le point où il retombe au même niveau d'altitude (ou au sol).
Altitude Maximale (\(H_{\text{max}}\) ou Flèche)
Hauteur maximale atteinte par le projectile par rapport à son niveau de lancement.
Équation de la Trajectoire d’une Fusée - Exercice d'Application (Physique Université)

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