Démonstration algébrique : Dans le triangle rectangle des puissances de Fresnel, la puissance apparente \( S \) forme l'hypoténuse, tandis que la puissance active \( P \) constitue le côté adjacent à l'angle de déphasage \( \varphi \).

D'après les lois fondamentales de la trigonométrie, le cosinus se définit comme le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse : \( \cos(\varphi) = \frac{P}{S} \).

Pour isoler l'inconnue \( P \), il suffit de multiplier les deux membres de l'équation par \( S \), ce qui donne formellement l'expression ci-dessous.

Démonstration algébrique : De manière analogue, la puissance réactive \( Q \) correspond au côté opposé à l'angle \( \varphi \) dans notre triangle rectangle.

La fonction sinus est le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse : \( \sin(\varphi) = \frac{Q}{S} \).

En multipliant chaque côté de l'égalité par le terme \( S \), on isole algébriquement la puissance réactive \( Q \), aboutissant à la formule canonique de magnétisation.

Exécution des Calculs Numériques (Boucherot)

Nous allons minutieusement calculer les composantes de la Charge 2, puis nous appliquerons la loi de sommation générale des énergies.

Extraction de l'énergie mécanique utile réellement développée par les moteurs.

Interprétation : Sur les \( 180 \text{ kVA} \) absorbés sur le réseau, l'installation ne transforme que \( 135 \text{ kW} \) en puissance utile. Le reste est l'emprise réactive.

Détermination de l'angle d'appel, puis calcul de la puissance de magnétisation.

Interprétation : La charge inductive monopolise près de \( 119 \text{ kVAR} \) sur la ligne électrique, une pollution réactive sévère que le distributeur désapprouve fortement.

Sommation algébrique stricte, nature par nature.

Interprétation : L'architecture de la zone urbaine requiert une alimentation globale ancrée sur ces deux jalons fondamentaux.

Démonstration algébrique : Le triangle formé par \( P_{\text{tot}} \) (axe réel) et \( Q_{\text{tot}} \) (axe imaginaire) est par nature un triangle rectangle.

Selon le Théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse \( S_{\text{tot}} \) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, soit \( S_{\text{tot}}^2 = P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2 \).

Pour obtenir la valeur absolue de \( S_{\text{tot}} \), nous appliquons mathématiquement la fonction racine carrée \( (\sqrt{...}) \) aux deux membres de l'équation.

Démonstration algébrique : En distribution triphasée équilibrée, la puissance apparente globale est donnée par l'équation produit fondamentale : \( S_{\text{tot}} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_{\text{tot}} \).

Notre but est de dimensionner les câbles, donc d'isoler l'intensité \( I_{\text{tot}} \).

Pour ce faire, nous divisons de part et d'autre le signe égal par le facteur constant \( (\sqrt{3} \cdot U) \). Ce terme bascule ainsi au dénominateur du membre de gauche pour offrir la formule de dimensionnement.

Exécution des Calculs Numériques (Dimensionnement)

Nous appliquons la théorie euclidienne, puis le dédouanement de l'intensité de ligne.

Le théorème de Pythagore sur les bilans consolidés.

Interprétation : L'installation exige \( 281.4 \text{ kVA} \) de puissance transitable. Remarquez que la somme naïve (120+180) aurait donné \( 300 \text{ kVA} \), forçant l'achat d'un matériel surdimensionné inutilement coûteux.

On déploie la formule triphasée standardisée pour la section des barres de cuivre.

Interprétation : Un courant dépassant \( 400 \text{ A} \) circulera en continu dans le disjoncteur général tête de station. C'est une intensité redoutable nécessitant un appareillage lourd.

Démonstration algébrique : Sachant par définition trigonométrique que \( \tan(\varphi) = \frac{Q}{P} \), on peut exprimer la puissance réactive initiale par \( Q_{\text{init}} = P_{\text{tot}} \cdot \tan(\varphi_{\text{init}}) \).

Pour que le réseau atteigne le nouvel angle ciblé sans modifier la puissance active (les condensateurs ne consommant que de l'actif négligeable), la nouvelle puissance réactive totale devra être \( Q_{\text{cible}} = P_{\text{tot}} \cdot \tan(\varphi_{\text{cible}}) \).

L'énergie \( Q_{\text{c}} \) à fournir par la batterie est l'exacte différence entre l'état initial et l'état cible : \( Q_{\text{c}} = Q_{\text{init}} - Q_{\text{cible}} \).

En substituant nos premières équations, on obtient \( Q_{\text{c}} = P_{\text{tot}} \cdot \tan(\varphi_{\text{init}}) - P_{\text{tot}} \cdot \tan(\varphi_{\text{cible}}) \).

En factorisant par le terme commun \( P_{\text{tot}} \), la formule universelle de compensation est formellement démontrée.

Exécution des Calculs Numériques (Compensation)

Nous exécutons l'algorithme trigonométrique pour extraire la stricte quantité de flux VAR opposé à injecter in situ par le système d'armoire.

La détermination mathématique des tangentes angulaires assure une certitude décimale irréprochable.

Interprétation : L'installation actuelle pulse avec un angle de \( 25^\circ \). La correction exigera de le comprimer à seulement \( 21.5^\circ \).

Le produit final établissant l'envergure du banc physique.

Interprétation : L'infrastructure urbaine requiert l'injection salvatrice continue d'exactement \( 18.4 \text{ kVAR} \) par l'organe capacitif.

Démonstration algébrique : La puissance réactive générée par un dipôle capacitif est dictée par la loi \( Q = \frac{U^2}{Z_{\text{c}}} \).

L'impédance complexe d'un condensateur pur a pour module mathématique \( Z_{\text{c}} = \frac{1}{C \cdot \omega} \).

En substituant l'impédance \( Z_{\text{c}} \), la puissance pour un seul condensateur devient : \( Q_{\text{1\_condensateur}} = U^2 \cdot C \cdot \omega \).

En couplage Triangle (Delta), la batterie comporte trois condensateurs branchés entre les phases, soumis à la tension pleine composée \( U \).

La puissance totale de la batterie est donc le triple : \( Q_{\text{c}} = 3 \cdot U^2 \cdot C_{\Delta} \cdot \omega \).

Pour dimensionner l'installation, il faut isoler l'inconnue \( C_{\Delta} \). En divisant les deux membres de cette équation par le bloc entier \( (3 \cdot U^2 \cdot \omega) \), on obtient l'équation de dimensionnement finale détaillée ci-dessous.

Démonstration algébrique : La pulsation \( \omega \) représente la vitesse angulaire de l'onde sinusoïdale, mesurée en radians par seconde.

Sachant géométriquement qu'un cycle alternatif complet représente \( 2\pi \) radians, la pulsation globale s'obtient en multipliant la fréquence \( f \) (le nombre de cycles purs par seconde) par ce facteur \( 2\pi \), d'où la déduction immédiate de l'équation \( \omega = 2 \cdot \pi \cdot f \).

Exécution des Calculs Numériques (Câblage)

Nous clôturons l'ingénierie par la substitution méticuleuse des bornes algébriques par leurs empreintes réelles.

Fractionnement minutieux des multiples pour une rigueur irréprochable.

Interprétation : L'envergure électrostatique est définie. On exige une architecture hébergeant \( 0.000122 \text{ F} \) entre ses pôles pour chaque segment du triangle équilatéral.

La transmutation dans le référentiel des micro-Farads normés.

Interprétation : Le palier technique exige précisément des cuves isolées capables de stocker \( 122 \text{ } \mu\text{F} \) de charge capacitive.