Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
Analyser le mouvement de rotation d'un disque homogène soumis à un couple constant, en calculant son accélération angulaire, sa vitesse angulaire et son énergie cinétique de rotation.
La dynamique de rotation décrit le mouvement des objets en rotation autour d'un axe. Les concepts clés sont analogues à ceux de la dynamique de translation :
- Moment d'inertie (\(I\)) : Équivalent de la masse en rotation, il mesure la résistance d'un objet à un changement de son état de rotation. Unité : kg.m².
- Couple (\(\tau\)) : Équivalent de la force en rotation, il provoque une accélération angulaire. Unité : Newton-mètre (N.m).
- Accélération angulaire (\(\alpha\)) : Taux de variation de la vitesse angulaire. Unité : rad/s².
- Principe fondamental de la dynamique en rotation : \(\sum \tau = I \alpha\).
- Vitesse angulaire (\(\omega\)) : Taux de variation de la position angulaire. Unité : rad/s. Pour une accélération angulaire constante \(\alpha\), partant du repos (\(\omega_0 = 0\)) : \(\omega(t) = \alpha t\).
- Angle de rotation (\(\theta\)) : Pour une accélération angulaire constante \(\alpha\), partant du repos (\(\theta_0 = 0, \omega_0 = 0\)) : \(\theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2\).
- Énergie cinétique de rotation (\(E_{c,rot}\)) : \(E_{c,rot} = \frac{1}{2} I \omega^2\). Unité : Joule (J).
- Travail d'un couple (\(W\)) : Pour un couple constant \(\tau\) agissant sur un angle \(\Delta\theta\), \(W = \tau \Delta\theta\).
Données du Problème
Un disque plein et homogène peut tourner librement autour d'un axe fixe passant par son centre et perpendiculaire à son plan.
- Masse du disque : \(M = 5.0 \text{ kg}\)
- Rayon du disque : \(R = 0.20 \text{ m}\)
- Couple constant appliqué au disque : \(\tau = 10.0 \text{ N.m}\)
- Le disque part du repos à \(t=0\).
Le moment d'inertie d'un disque plein homogène par rapport à un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan est \(I = \frac{1}{2} M R^2\).
Questions
- Calculer le moment d'inertie (\(I\)) du disque.
- Calculer l'accélération angulaire (\(\alpha\)) du disque.
- Calculer la vitesse angulaire (\(\omega\)) du disque après \(t = 5.0 \text{ s}\).
- Calculer l'angle total (\(\Delta\theta\)) parcouru par le disque pendant ces \(5.0 \text{ s}\) (en radians et en tours).
- Calculer l'énergie cinétique de rotation (\(E_{c,rot}\)) du disque à \(t = 5.0 \text{ s}\).
- Calculer le travail (\(W\)) effectué par le couple sur le disque pendant ces \(5.0 \text{ s}\). Comparer ce travail à l'énergie cinétique de rotation calculée.
Correction : Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
1. Calcul du Moment d'Inertie (\(I\)) du Disque
Le moment d'inertie d'un disque plein homogène par rapport à un axe passant par son centre est \(I = \frac{1}{2} M R^2\).
Données :
\(M = 5.0 \text{ kg}\)
\(R = 0.20 \text{ m}\)
Le moment d'inertie du disque est \(I = 0.10 \text{ kg.m}^2\).
2. Calcul de l'Accélération Angulaire (\(\alpha\))
On utilise le principe fondamental de la dynamique en rotation : \(\sum \tau = I \alpha\). Ici, un seul couple est appliqué.
Données :
\(\tau = 10.0 \text{ N.m}\)
\(I = 0.10 \text{ kg.m}^2\)
L'accélération angulaire du disque est \(\alpha = 100 \text{ rad/s}^2\).
Quiz Intermédiaire : Moment d'Inertie
3. Calcul de la Vitesse Angulaire (\(\omega\)) après \(t = 5.0 \text{ s}\)
Le disque part du repos (\(\omega_0 = 0\)) et subit une accélération angulaire constante \(\alpha\). La vitesse angulaire est \(\omega(t) = \omega_0 + \alpha t\).
Données :
\(\omega_0 = 0 \text{ rad/s}\)
\(\alpha = 100 \text{ rad/s}^2\)
\(t = 5.0 \text{ s}\)
La vitesse angulaire après 5.0 s est \(\omega = 500 \text{ rad/s}\).
4. Calcul de l'Angle Total (\(\Delta\theta\)) parcouru en \(5.0 \text{ s}\)
Pour un mouvement de rotation uniformément accéléré partant du repos (\(\theta_0 = 0, \omega_0 = 0\)), l'angle parcouru est \(\Delta\theta = \theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2\).
Données :
\(\alpha = 100 \text{ rad/s}^2\)
\(t = 5.0 \text{ s}\)
En radians :
En tours (sachant que 1 tour = \(2\pi\) radians) :
- Angle parcouru : \(\Delta\theta = 1250 \text{ rad}\)
- Nombre de tours : \(\approx 198.94 \text{ tours}\)
5. Calcul de l'Énergie Cinétique de Rotation (\(E_{c,rot}\)) à \(t = 5.0 \text{ s}\)
L'énergie cinétique de rotation est \(E_{c,rot} = \frac{1}{2} I \omega^2\).
Données :
\(I = 0.10 \text{ kg.m}^2\)
\(\omega(5.0\text{s}) = 500 \text{ rad/s}\)
L'énergie cinétique de rotation à \(t=5.0\text{s}\) est \(E_{c,rot} = 12500 \text{ J}\) (ou 12.5 kJ).
Quiz Intermédiaire : Énergie Cinétique
6. Travail (\(W\)) Effectué par le Couple et Comparaison
Le travail effectué par un couple constant \(\tau\) lors d'un déplacement angulaire \(\Delta\theta\) est \(W = \tau \Delta\theta\). D'après le théorème de l'énergie cinétique pour la rotation, ce travail doit être égal à la variation de l'énergie cinétique de rotation.
Données :
\(\tau = 10.0 \text{ N.m}\)
\(\Delta\theta = 1250 \text{ rad}\)
\(E_{c,rot}(initiale) = 0\) (part du repos)
Calcul du travail :
Comparaison :
L'énergie cinétique de rotation finale calculée à la question 5 est \(E_{c,rot}(finale) = 12500 \text{ J}\).
La variation d'énergie cinétique est \(\Delta E_{c,rot} = E_{c,rot}(finale) - E_{c,rot}(initiale) = 12500 \text{ J} - 0 \text{ J} = 12500 \text{ J}\).
On constate que le travail \(W\) effectué par le couple est égal à la variation de l'énergie cinétique de rotation \(\Delta E_{c,rot}\), ce qui est conforme au théorème de l'énergie cinétique.
Le travail effectué par le couple est \(W = 12500 \text{ J}\), ce qui est égal à l'énergie cinétique de rotation acquise par le disque.
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Glossaire des Termes Clés
Moment d'Inertie (\(I\)) :
Mesure de la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation. Dépend de la masse du corps et de la distribution de cette masse par rapport à l'axe de rotation.
Couple (\(\tau\)) :
Action mécanique qui tend à produire une rotation. C'est l'analogue rotationnel de la force.
Accélération Angulaire (\(\alpha\)) :
Taux de variation de la vitesse angulaire par rapport au temps.
Vitesse Angulaire (\(\omega\)) :
Taux de variation de la position angulaire (angle de rotation) par rapport au temps.
Énergie Cinétique de Rotation :
Énergie qu'un corps possède en raison de son mouvement de rotation.
Travail d'un Couple :
Énergie transférée à un objet ou par un objet en rotation sous l'effet d'un couple.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment le moment d'inertie changerait-il si le disque était un anneau mince de même masse et même rayon extérieur ? L'accélération angulaire serait-elle plus grande ou plus petite pour le même couple ?
2. Si, en plus du couple moteur, un couple de frottement constant s'opposait à la rotation, comment cela modifierait-il l'accélération angulaire et la vitesse angulaire finale ?
3. Quel est le lien entre la puissance instantanée développée par le couple et la vitesse angulaire du disque ?
4. Comment pourrait-on déterminer expérimentalement le moment d'inertie d'un objet de forme irrégulière ?
5. Expliquez le concept de conservation du moment cinétique. Dans quelles conditions s'applique-t-il ?
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