Le Manège Enchanté : Ça Tourne à Quelle Vitesse ?
Tournez manège ! Mais à quelle vitesse exactement ?
Les manèges sont une source de joie dans les fêtes foraines. On s'installe sur un cheval de bois, la musique démarre, et hop, on se met à tourner en rond ! Ce mouvement en cercle est appelé un mouvement circulaire. Même si on a l'impression de ne pas aller très vite, on parcourt une certaine distance à chaque tour. Dans cet exercice, nous allons calculer la vitesse d'un enfant sur un manège et découvrir que même en tournant, on peut parler de vitesse ! 🎠
Le Tour de Manège de Sofia et Tom
Schéma du Manège (Vue de dessus)
Vue de dessus du manège avec Sofia et Tom.
Questions à traiter
- Qu'est-ce qu'un mouvement circulaire ? Donne un autre exemple de mouvement circulaire dans la vie courante.
- La période (\(T\)) d'un mouvement circulaire est le temps mis pour faire un tour complet. Quelle est la période du manège de Sofia et Tom ?
- Pour calculer la vitesse d'un objet en mouvement circulaire, on a besoin de connaître la distance parcourue en un tour. Cette distance est la circonférence du cercle. La formule de la circonférence (\(C\)) d'un cercle est \(C = 2 \times \pi \times R\), où \(R\) est le rayon du cercle (la distance au centre).
- Calcule la distance (circonférence) parcourue par Sofia en un tour.
- Calcule la distance (circonférence) parcourue par Tom en un tour.
- Maintenant, calcule la vitesse :
- Calcule la vitesse de Sofia en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)). (Arrondis au centième si nécessaire).
- Calcule la vitesse de Tom en \(\text{m/s}\). (Arrondis au centième si nécessaire).
- Qui va le plus vite, Sofia ou Tom ? Pourquoi y a-t-il une différence de vitesse alors qu'ils sont sur le même manège et font un tour en même temps ?
- Si le manège faisait \(5\) tours complets, quelle distance totale Sofia aurait-elle parcourue ?
Correction : Le Manège Enchanté
Question 1 : Mouvement circulaire
Réponse :
Un mouvement circulaire est un mouvement où un objet se déplace en formant un cercle (ou une partie de cercle) autour d'un point central fixe, appelé centre de rotation. La distance de l'objet au centre reste constante.
Autres exemples de mouvement circulaire :
- Les aiguilles d'une montre.
- La Lune qui tourne autour de la Terre.
- Un point sur le bord d'une roue de vélo qui tourne.
- Un athlète qui lance un marteau (avant le lâcher).
Question 2 : Période du manège
Réponse :
La période (\(T\)) est le temps mis pour faire un tour complet. L'énoncé nous dit que le manège fait un tour complet en \(12\) secondes.
La période du manège est donc de \(T = 12 \text{ s}\).
Question 3 : Calcul des circonférences
Réponse a) Distance parcourue par Sofia en un tour :
Sofia est à un rayon \(R_{\text{Sofia}} = 3 \text{ m}\) du centre. On utilise \(\pi \approx 3,14\).
Sofia parcourt \(18,84 \text{ m}\) en un tour.
Réponse b) Distance parcourue par Tom en un tour :
Tom est à un rayon \(R_{\text{Tom}} = 2 \text{ m}\) du centre.
Tom parcourt \(12,56 \text{ m}\) en un tour.
Question 4 : Calcul des vitesses
Réponse a) Vitesse de Sofia :
Distance \(d_{\text{Sofia}} = C_{\text{Sofia}} = 18,84 \text{ m}\), Temps \(t = T = 12 \text{ s}\).
La vitesse de Sofia est de \(1,57 \text{ m/s}\).
Réponse b) Vitesse de Tom :
Distance \(d_{\text{Tom}} = C_{\text{Tom}} = 12,56 \text{ m}\), Temps \(t = T = 12 \text{ s}\).
Arrondie au centième, la vitesse de Tom est d'environ \(1,05 \text{ m/s}\).
Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'un cercle est doublé, sa circonférence est :
Question 5 : Comparaison des vitesses
Réponse :
En comparant leurs vitesses, \(v_{\text{Sofia}} = 1,57 \text{ m/s}\) et \(v_{\text{Tom}} \approx 1,05 \text{ m/s}\).
Sofia va plus vite que Tom.
Même s'ils font un tour complet dans le même temps (période \(T = 12 \text{ s}\)), Sofia est plus éloignée du centre du manège que Tom. Par conséquent, en un tour, Sofia parcourt une plus grande distance (une plus grande circonférence) que Tom. Comme Vitesse = Distance / Temps, et que le temps est le même pour les deux, celle qui parcourt la plus grande distance (Sofia) a la plus grande vitesse.
Question 6 : Distance parcourue par Sofia en 5 tours
Réponse :
En un tour, Sofia parcourt \(C_{\text{Sofia}} = 18,84 \text{ m}\).
En \(5\) tours, la distance totale parcourue par Sofia sera :
Sofia aurait parcouru \(94,2 \text{ m}\) en \(5\) tours.
Quiz Intermédiaire 2 : Sur un manège qui tourne à période constante, qui va le plus vite ?
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La distance parcourue en un tour complet d'un cercle s'appelle :
2. Un manège fait un tour en \(10 \text{ s}\). Un cheval est à \(2 \text{ m}\) du centre. (Prendre \(\pi \approx 3\)). Quelle est la vitesse approximative du cheval ?
3. Si la période d'un manège diminue (il tourne plus vite), la vitesse des chevaux :
Glossaire du Manège
- Mouvement Circulaire
- Mouvement d'un objet le long d'un cercle ou d'une trajectoire circulaire autour d'un point central (centre de rotation).
- Rayon (\(R\))
- Distance entre le centre d'un cercle et n'importe quel point sur sa circonférence.
- Diamètre (\(D\))
- Distance à travers un cercle passant par son centre. \(D = 2 \times R\).
- Circonférence (\(C\))
- La longueur du contour d'un cercle. Calculée par la formule \(C = 2 \times \pi \times R\) ou \(C = \pi \times D\).
- Pi (\(\pi\))
- Une constante mathématique qui représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Sa valeur est approximativement \(3,14159\)... Pour des calculs simples, on utilise souvent \(\pi \approx 3,14\) ou même \(\pi \approx 3\).
- Période (\(T\))
- Dans un mouvement circulaire, c'est le temps nécessaire pour effectuer un tour complet. Unité : seconde (\(\text{s}\)).
- Fréquence (\(f\))
- Le nombre de tours effectués par unité de temps (souvent par seconde). Elle est l'inverse de la période : \(f = 1/T\). Unité : Hertz (\(\text{Hz}\)), qui équivaut à un tour par seconde.
- Vitesse (dans un mouvement circulaire uniforme)
- La distance parcourue (la circonférence) divisée par le temps mis pour la parcourir (la période). \(v = C/T = (2 \times \pi \times R) / T\).
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